Một quá trình ngẫu nhiên là một thực thể toán học được sử dụng để mô tả sự phát triển của một hệ thống theo thời gian, bị chi phối bởi các quy luật xác suất thay vì các quy luật tất định. Khác với một biến ngẫu nhiên đơn lẻ, ta định nghĩa nó căn bản là một tập hợp các biến ngẫu nhiên $\{X_n : n \in T\}$ được chỉ số theo thời gian. Trong bài học này, chúng ta tập trung vào Đi bộ ngẫu nhiên đơn giản (SRW)—một mô hình rời rạc mô phỏng số tiền của một người chơi cờ bạc, bắt đầu từ một giá trị ban đầu ($a$) và tiến triển qua các ván cược độc lập.
1. Cơ chế của Đi bộ ngẫu nhiên đơn giản
Ta biểu diễn trạng thái đi bộ tại thời điểm $n$ như tổng của các bước nhảy độc lập:
$$X_n = a + Z_1 + Z_2 + \dots + Z_n$$
trong đó mỗi $Z_i$ đại diện cho kết quả của một ván cược: $+1$ (thắng) với xác suất $p$, và $-1$ (thua) với xác suất $q = 1-p$.
Giả sử $\{X_n\}$ là một đi bộ ngẫu nhiên đơn giản. Nếu $k$ là một số nguyên sao cho $-n \leq k \leq n$ và $n + k$ là chẵn, thì xác suất để ở trạng thái $a+k$ sau $n$ bước là:
$$P(X_n = a+k) = \binom{n}{\frac{n+k}{2}} p^{(n+k)/2} q^{(n-k)/2}$$
Lỗi sai quan trọng: Đối với mọi giá trị $k$ khác (trong trường hợp $n+k$ là lẻ hoặc $|k| > n$), $P(X_n = a + k) = 0$. Kiểm tra tính chẵn lẻ này đảm bảo rằng bạn chỉ có thể đạt đến các trạng thái cụ thể dựa trên số bước đã đi.
2. Kỳ vọng và Tính công bằng
Đường đi trung bình của quá trình phụ thuộc vào xác suất $p$. Giá trị kỳ vọng tại thời điểm $n$ được cho bởi:
$E(X_n) = a + n(2p - 1)$
- Trò chơi công bằng ($p = 1/2$): Quá trình là một Martingale. Về trung bình, số tiền không đổi: $E(X_{n+1} - X_n | X_n) = 0$.
- Trò chơi bất lợi ($p < 1/2$): Quá trình dần dịch chuyển xuống dưới hướng tới thất bại.
- Trò chơi thuận lợi ($p > 1/2$): Quá trình dần dịch chuyển lên trên.
3. Bức tranh rộng lớn hơn
Trong khi SRW xử lý các tổng rời rạc, các quá trình ngẫu nhiên cũng bao gồm các mô hình liên tục. Ví dụ, quá trình Poisson ($N_t$) có các bước nhảy độc lập với $P(N_t = k) = e^{-at} \frac{(at)^k}{k!}$. Chúng ta cũng thấy những động lực này trong các phân bố mục tiêu cho lấy mẫu MCMC, ví dụ như $f(y) = e^{-y^4}(1+|y|)^3$. Các quá trình này thường sử dụng ký hiệu chuyển tiếp như $v_1 = v_0 A$.